偏差値でポートフォリオを描く

２変数の散布図を描画して平均値を交点とすることで、データを①～④に4分類するポートフォリオを描くことができます。（左図）

直帰率の改善

例えばWEB系の分析で、直帰率の改善を行うとした場合にも、縦軸に入り口数、横軸に直帰率とすることで、入り口となっているページで直帰率が高いページを視覚的に表すことができます。左図では②に位置するページが、入り口数が平均以上であり、且つ、直帰率も平均以上です。

※入り口数：　サイトに最初に訪問したページの流入数（入り口ページの流入数）
※直帰率　：　サイトに最初に訪問したページだけを見てサイトから離脱してしまう割合

単純に直帰率が高いページだけを見ると、入り口ページの流入数が少ないページも含まれてしまうために、効果的な改善ができません。上図のように交点を平均値とするだけで、改善すべきページを視覚的に表すことができます。

しかし、グラフ的には①～④が均等になっていないので、ポートフォリオとしての見た目がいまひとつです。また入り口数と直帰率という異なる単位をグラフにしているため軸の最小値と最大値の設定によってもグラフの見え方が変わってしまいます。

何よりも平均値よりも大きいという条件（上図②）では、該当件数が多くなってしまう場合、単位が異なる２つの変数を平均から幾つあげればいいかを検討するには手間がかかります。

偏差値を使ったポートフォリオ

２変数を偏差値に変換して、偏差値50を交点として描いたポートフォリオが下図です。
Excelで軸の書式設定で、縦軸、横軸共に最小値20、最大値80を基準に設定してください（下図では25 75）。また縦軸との交点（横軸との交点）を50にします。

軸の書式設定

XとYのポートフォリオ

上図の交点を55に変更すると、下図のように、入り口数も直帰率も偏差値が55以上のものに絞り込むことができます。

交点を55に変更したポートフォリオ

データの標準化

誰もが知っている「偏差値」ですが、割と正しく理解されていなかったりします。偏差値は、データの標準化と同様の考え方です。データの標準化とは、平均が0、標準偏差が1になるように単位を揃えることです。標準化された値は標準化得点と呼ばれます。一方、偏差値は、平均が50、標準偏差が10になるように単位を揃えたものです。このようにデータを標準化（偏差値化）することによって、標準正規分布を用いた推定や検定ができるようになります。

標準化得点の算出方法

平均を0、標準偏差を1にするので、各値から平均値を減算して、標準偏差で除算します。

=（x - 平均）/標準偏差

ExcelではSTANDARDIZE関数が用意されていますが、結果は上式と同じになります。

=STANDARDIZE(x,平均,標準偏差)

※平均　　　：　=AVERAGE(データ範囲)

※標準偏差：　=STDEVP(データ範囲)

偏差値の算出方法

偏差値は平均を50、標準偏差を10にしたものです。式とExcelでの偏差値の求め方を下に記します。

=（x - 平均）/標準偏差×10＋50
=(x-average(データ範囲))/stdevp(データ範囲)*10+50

偏差値とは何か

データを標準化（偏差値化）することによって標準正規分布を用いた推定や検定ができると記載しましたが、もう少し詳しく説明します。下図は、標準得点と偏差値の標準正規分表です。

標準正規分布表

標準得点	偏差値	標準正規 分布表	確率
-3.0	20	0.4987	下位   0.1%
-2.5	25	0.4938	下位   0.6%
-2	30	0.4772	下位   2.3%
-1.5	35	0.4332	下位   6.7%
-1.0	40	0.3413	下位 15.9%
-0.5	45	0.1915	下位 30.9%
0	50	0	中央
0.5	55	0.1915	上位 30.9%
1.0	60	0.3413	上位 15.9%
1.5	65	0.4332	上位   6.7%
2	70	0.4772	上位   2.3%
2.5	75	0.4938	上位   0.6%
3.0	80	0.4987	上位   0.1%

標準正規分布表の値については、こちらを参考にしてください（統計学の教科書にも参考資料として添付されています）。正規分布では、指定された区間にある確率を求めることができます。偏差値60（標準得点1）は、標準正規分布表をみると0.3413です。正規分布の右片側だけみると偏差値60までにある確率は34.1％となります。これに左片側の50％を合算すると84.1％となり、偏差値60は100％-84.1％で上位15.9％に位置することがわかります。偏差値70になると上位2.3％で、全体の中でかなりの高位置であることがわかります。

直帰率の例題で、直帰率、入り口数の偏差値が共に50％以上の確率は、(1-50％)×(1-50％)=25％です。例題では、20変数なので②の枠内にあるのは、理論上5個となります。偏差値55以上であれば、(1-55％)×(1-55％)=20％で4個です。実際の個数と比較してみてください。正規分布を前提としているのと母数によっての誤差はありますが、偏差値を使用することで、大凡の個数がわかります。

なぜ標準得点ではなく偏差値を用いるかといえば、統計に詳しくないクライアントへの説明では、偏差値の方が理解されやすいからです。